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斐波那契数-509

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n ，请计算 F(n) 。

示例 1：

输入：n = 2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

输入：n = 3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：

输入：n = 4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

来源：力扣（LeetCode） 链接：https://leetcode.cn/problems/fibonacci-number/description/

答案​

递归​

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var fib = function (n) {
  if (n === 0) return 0
  if (n === 1) return 1
  return fib(n - 1) + fib(n - 2)
}

动态规划​

动规五部曲：

这里我们要用一个一维 dp 数组来保存递归的结果

  1. 确定 dp 数组以及下标的含义

dp[i]的定义为：第 i 个数的斐波那契数值是 dp[i]

  1. 确定递推公式

为什么这是一道非常简单的入门题目呢？

因为题目已经把递推公式直接给我们了：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

  1. dp 数组如何初始化

题目中把如何初始化也直接给我们了，如下：

dp[0] = 0
dp[1] = 1
  1. 确定遍历顺序

从递归公式 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

  1. 举例推导 dp 数组

按照这个递推公式 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当 N 为 10 的时候，dp 数组应该是如下的数列：

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

var fib = function (n) {
  let dp = [0, 1]
  for (let i = 2; i <= n; i++) {
    dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
  }
  console.log(dp)
  return dp[n]
}
  • 时间复杂度：O(n)
  • 空间复杂度：O(n)

优化​

var fib = function (n) {
  // 动规状态转移中，当前结果只依赖前两个元素的结果，所以只要两个变量代替dp数组记录状态过程。将空间复杂度降到O(1)
  let pre1 = 0
  let pre2 = 1
  let res
  if (n === 0) return 0
  if (n === 1) return 1
  for (let i = 2; i <= n; i++) {
    res = pre1 + pre2
    pre1 = pre2
    pre2 = res
  }
  return res
}